直线运动¶

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称物体运动时通过的路径为该物体的运动轨迹。

若物体的运动轨迹是一条直线，则称该物体做直线运动。

按物体受力的不同，直线运动又可以进一步划分为：

匀速直线运动
匀变速直线运动（包括匀加速或匀减速直线运动）
变速直线运动

基本概念¶

下面是直线运动过程中的一些基本概念

$\overrightarrow{v}$ ：速度，常见单位 $m/s$ ，速度描述了物体运动快慢与方向，属于矢量，可以分为瞬时速度 $\overrightarrow{v_{瞬}}$ 与平均速度 $\overline{\overrightarrow{v}}$ 。
$v$ ：速率，常见单位 $m/s$，速率仅描述了物体运动的快慢（可视为速度的模即 $|\overrightarrow{v}|$ ），属于标量，区别于速度的方向性，同样可以分为瞬时速率$v_{瞬}$ 与平均速率 $\overline{v}$ 。
$\overrightarrow{x}$ ：位移，常见单位 $m$ ，位移是从初位置指向末位置的有向线段，属于矢量。
$s$ ：路程，常见单位 $m$ ，路程描述了物体的运动轨迹的长度，属于标量，区别于位移。
$\overrightarrow{a}$ ：加速度，常见单位 $m/s^{2}$ ，加速度描述了物体运动速度变化的快慢与方向，属于向量.
$t$ ：时间，常见单位 $s$，属于标量，通常认为 $0 \le t$ 。

根据两点之间线段最短，必然有$|\overrightarrow{x}| \le s$ 。

对于任意运动，都有 $\overline{v}t = x_{t}$ 。

基础公式¶

下面是物体在不同运动状态下，各物理量的定量关系计算方法

匀速直线运动¶

物体做匀速直线运动时，速度 $v$ 为定值，加速度 $a$ 为 $0$ ，物体所受的合外力为 $0$ 。

其中 $x \propto t$ ，比例系数为 $v$ ，即：

\[x_{t} = vt\]

由于匀速直线运动在初中阶段已经学习过，此处不过多介绍。

匀变速直线运动¶

Tip

在描述随时间而变化的物理量时，常用下标时刻的方式来表示该时刻下的物理量。

如 $v_{t}$ 可表示时刻 $t$ 下的速度。

在无需区分向量与标量时（例如仅做数值运算时），为书写方便也可不标向量上方的箭头，但这种写法并不标准，需读者注意。

同时，下文中默认初位移 $x_0$ 为0。

物体做匀变速直线运动时，速度 $v$ 随时间的变化而变化，加速度 $a$ 为定值，物体所受的合外力为定值。

其中 $v \propto t$ ，比例系数为 $a$ ，即：

\[\Delta v = at\]

$t$ 时刻的速度 $v_{t}$ 可表示为：

\[v_{t} = v_{0} + \Delta v = v_{0} + at\]

位移 $\overrightarrow{x}$ 等于速度矢量对时间的定积分。具体来说，从时刻 $t_{1}$ 到时刻 $t_{2}$ 间的位移 $\overrightarrow{x}$ 为：

\[\overrightarrow{x} = \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{v_{t}} \, dt\]

即位移等于v-t图像下的面积，套用梯形面积公式可以得到：

\[x_{t} = \frac{(v_0+v_t)t}{2}\]

又根据 $\overline{v}t = x_{t}$，所以：

\[\overline{v_{t}} = \frac{v_0+v_t}{2}\]

将 $v_{t} = v_{0} + at$ 代入可以得到：

\[ \begin{aligned} x_{t} &= \frac{(2v_0+at)t}{2} \\ &= v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \end{aligned} \]

由 $\Delta v = v_t - v_0 = at$ 得 $t = \frac{v_t - v_0}{a}$ ，代入得：

\[ \begin{aligned} x_{t} &= v_{0} \left( \frac{v_{t} - v_{0}}{a} \right) + \frac{1}{2} a \left( \frac{v_{t} - v_{0}}{a} \right)^2 \\ &= \frac{v_{0} v_{t} - {v_{0}}^{2}}{a} + \frac{1}{2a} ({v_{t}}^{2} - 2v_{0} v_{t} + {v_{0}}^{2}) \\ &= \frac{2(v_{0} v_{t} - {v_{0}}^{2}) + ({v_{t}}^{2} - 2v_{0} v_{t} + {v_{0}}^{2})}{2a} \\ &= \frac{{v_{t}}^{2} - {v_{0}}^{2}}{2a} \end{aligned} \]

整理即得：

\[ {v_{t}}^{2} - {v_{0}}^{2} = 2ax \]

综上，整理一下匀变速直线运动的公式：

\[ \begin{align} &\Delta v = at \\ &2ax = {v_{t}}^{2} - {v_{0}}^{2} \\ &\overline{v_{t}} = \frac{v_0+v_t}{2} \\ &x_{t} = \frac{(v_0+v_t)t}{2} \\ &x_{t} = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \end{align} \]

在解题时，可观察题面中给出以及需求解的物理量来选取对应的公式。

变速直线运动¶

变速直线运动的加速度 $a$ 随时间的变化而变化，即物体所受的合外力随时间的变化而变化。

在变速直线运动当中，一段时间内的速度变化量 $\Delta \overrightarrow{v}$ 等于这一段时间内加速度矢量对时间的定积分。

具体来说，从时刻 $t_{1}$ 到时刻 $t_{2}$ 的速度变化量 $\Delta \overrightarrow{v}$ 为：

\[\Delta \overrightarrow{v} = \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{a_{t}} \, dt\]

即速度变化量 $\Delta \overrightarrow{v}$ 等于a-t图像下的面积。

当 $a \propto t$ 即 $a_t = a_0 + k \cdot t$ 时，a-t图像为直线，套用梯形面积公式可以得到：

\[ \begin{aligned} \Delta v &= \frac{(a_{0} + a_{t})t}{2} \\ &= \frac{(2a_{0} + kt)t}{2} \\ &= a_{0}t + \frac{1}{2}kt^{2} \end{aligned} \]

图像分析¶

x-t图像¶

在 $x-t$ 图像中，曲线的切线斜率即为瞬时速度 $v$：

\[ \frac{dx}{dt}=v \]

若 $x$ 满足 $x=mt^{2}+nt+x_{0}$，则

\[ v_{t}=\frac{dx}{dt}=2mt+n \]

这正对应前文给出的 $x^{\prime}=2mt+n$，即匀加速运动的速度表达式。

在x-t图像中：

其在某一点切线的斜率给出了该时刻的速度 $v$ ，即对于x-t图像求导。
其面积通常情况下没有含义，其面积的量纲为 $m\cdot s$ 。
其纵截距代表初位移 $x_0$ ，在通常情况下为0。
其横截距代表开始运动的时刻（常记为 $t_0$ ），在通常情况下为0。

根据其图像符合的解析式，又可以进一步分为3种较为常见的模型。

$x = C$¶

此处$C$代表常量 const 。

此时 $x$ 不随 $t$ 的变化而变化，即物体处于静止状态。

$x = k\cdot t$¶

根据x-t图像斜率所代表的意义可知，有 $k=v$ 。

此时 $x \propto t$ ，即物体做匀速直线运动。

$x = mt^2 + nt + x_{0}$¶

根据公式 $x = v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}$ ，使用待定系数法可以得到：

\[ \begin{aligned} m &= \frac{1}{2} a \\ n &= v_{0} \end{aligned} \]

对于 $x = mt^2 + nt + x_{0}$ 求导又可以得到：

\[ \begin{aligned} x^{'} &= 2mt + n \\ &= at + v_{0} \end{aligned} \]

即物体做匀加速运动。

v-t 图像¶

在 $v-t$ 图像中，曲线的切线斜率即为瞬时加速度 $a$：

\[ \frac{dv}{dt}=a \]

若 $v(t)$ 为二次多项式 $v=mt^{2}+nt+v_{0}$，则

\[ a(t)=\frac{dv}{dt}=2mt+n \]

这与前文给出的 $a=v^{\prime}=2mt+n$ 完全一致，描述了加速度随时间的线性变化（$a\propto t$）。

在v-t图像中：

其在某一点切线的斜率给出了该时刻的加速度 $a$ ，即对于v-t图像求导。
其面积代表位移 $x$ ，即对于v-t图像积分。
其纵截距代表初速度 $v_0$ 。
其横截距代表速度 $v$ 为 $0$ 的时刻（常记为 $t_0$ ）。

根据其图像符合的解析式，又可以进一步分为3种较为常见的模型

$v = C$¶

此处$C$代表常量 const 。

此时 $v$ 不随 $t$ 的变化而变化，即物体处于匀速直线运动状态。

$v = k\cdot t$¶

根据v-t图像斜率所代表的意义可知，有 $k=a$ 。

此时 $v \propto t$ ，即物体做匀变速直线运动。

$v = mt^2 + nt + v_{0}$¶

对于 $v = mt^2 + nt + v_{0}$ 求导可以得到：

\[ a = v^{'} = 2mt + n \]

不难发现 $a \propto t$ ，即物体做加速度均匀变化的变速直线运动。

a-t 图像¶

在a-t图像中：

其在某一点切线的斜率给出了该时刻加速度变化速率（即“jerk/急动度”）$j$：，即对于a-t图像求导。
其面积代表位移变化量 $\Delta v$ ，即对于a-t图像积分。
其纵截距代表初加速度 $a_0$ 。
其横截距代表加速度 $a$ 为 $0$ 的时刻（常记为 $t_0$ ）。

根据其图像符合的解析式，又可以进一步分为2种较为常见的模型:

$a = C$¶

此处$C$代表常量 const 。

此时 $a$ 不随 $t$ 的变化而变化，即物体处于匀变速直线运动状态。

$a = k\cdot t$¶

根据v-t图像斜率所代表的意义可知， $k$ 为加速度变化率。

即物体做加速度均匀变化的变速直线运动。

$v^2 - x$ 图像¶

Warning

需要注意，$v^2$ 与 $x$ 之间 不一定满足函数关系 。

函数关系要求：对于每个位置 $x$，必须有 唯一确定 的 $v^2$ 值与之对应。

当运动满足 $|v|$ 是 $x$ 的单值函数时 ， $v^2$ 与 $x$ 才成函数关系。例如在 匀加速直线运动 （且不折返）中，公式 $v^2 = {v_0}^2 + 2a(x - x_0)$ 给出了 $v^2$ 与 $x$ 之间的一一对应。
当物体在同一位置可以对应多个不同的速率 $|v|$ 时 ， $v^2$ 与 $x$ 就不构成函数关系。

典型例子是 往复运动 （如弹簧振子）：物体两次经过同一位置时，速率可能不同，此时一个 $x$ 对应多个 $v^2$ 值，违反函数的定义。

因此，判断的关键在于 运动过程中是否出现同一位置对应多个速率的情况 ，而不仅仅是速度方向是否改变（若方向改变但速率唯一，仍可为函数关系）。

在 $v^2 - x$ 图像中：

其在某一点切线的斜率给出了该时刻加速度的二倍 $2a$ ，即对于a-t图像求导。
其面积通常情况下是没有含义的，其面积的量纲为 $m^3/s^2$ 。
其纵截距代表位移为0时速度的平方（若初位移为0则等价于初速度的平方） ${v_0}^2$ 。
其横截距代表速度 $v$ 为 $0$ 时的位移（常记为 $x_0$ ）。

根据其图像符合的解析式，又可以进一步分为2种较为常见的模型:

$v^{2} = C$¶

此处$C$代表常量 const 。

此时 $v$ 不随 $t$ 的变化而变化，即物体处于匀速直线运动状态。

$v = kx+b$¶

根据$v^2 - x$ 图像斜率所代表的含义可知，$k = 2a$ (若初位移 $x_0 = 0$ 还有 $b = {v_0}^2$ )

$\frac{x}{t} - t$ 图像¶

该图像描绘的是平均速度 $\overline{v}=\frac{x}{t}$ 随时间的变化。

其在某一点切线的斜率给出了该时刻平均速度变化率 $a_{平}$ ，即对于 $\frac{x}{t} - t$ 图像求导。
其面积代表该时刻的位移 $x$ 。
其纵截距代表开始运动时的平均速度 $\overline{v}_0$。
其横截距代表平均速度等于0的时刻。

微分分析

由于$\frac{x}{t} - t$ 图像在某一点切线的斜率所代表的含义并不常见，相关物理量之间的数量关系可能无法快速想到，在此给出部分数量关系推导过程：

借助微元法/微分思想，对于一个极小的位移 $\Delta x$ ，可以近似将这段运动看做匀变速运动，其平均速度变化率 $a_{平}$ 与加速度 $a$ 存在一定关系，具体推导过程如下：

根据 $x = v_{0}t + \frac{1}{2} at^2$ ，可得：

$$

\begin{aligned} \overline{v} &= \frac{x}{t} \ &= \frac{v_{0}t + \frac{1}{2} at^2}{t} \ &= v_{0} + \frac{1}{2} at \end{aligned} $$

不难发现 $\overline{v} = \frac{x}{t} \propto t$ ，进一步，有斜率 $a_{平} = \frac{1}{2}a$ 。

综上，在某一点切线的斜率必然等于该时刻物体加速度的二分之一。

根据该图像符合的解析式，又可以进一步分为2种较为常见的模型:

$\overline{v} = \frac{x}{t} = C$¶

此处$C$代表常量 const 。

此时 $\overline{v} = \frac{x}{t}$ 不随 $t$ 的变化而变化，即物体处于匀速直线运动状态。

$\overline{v} = \frac{x}{t} = kt + b$¶

根据上文微分分析可知 $\overline{v} = \frac{x}{t} = v_{0} + \frac{1}{2} at$ 。

此时 $k$ 为定值，即加速度 $a$为定制，故物体做匀变速运动。

图像分析概要¶

确定研究对象。
确定自变量、因变量、横纵轴所代表的物理量。
列出正常条件下横纵轴物理量间存在的定量关系公式。
找图像斜率、面积、截距的意义。

常见模型¶

在这里，笔者列举数种较为常见的考题

模型，从这数个模型展开拓展延伸，可以覆盖大多数题目。

追及与相遇¶

追及与相遇这两者本质相同，故在此一并进行解析。

例题-又是一年军训¶

题面¶

在学校组织的军训展示环节中，某班级排成一条长度为 $L$ 的队列（从队尾到队首的距离为 $L$），最初全体同学保持静止。

队列在老师的口令下，以恒定加速度 $a_{team}$ 做匀加速运动，直至达到最大速度 $v_{\max}$，随后保持该匀速。

作为通讯兵的小明最开始在队尾等待信号。信号在 $t_0$ 后才传到他手中，此时队列仍在加速阶段。

小明收到信号后立即向队首奔去，追上队首后，此时队列恰好开始以 $v_{\max}$ 的速度前行，小明保持同样的速度与队伍一同前行，小明需要花 $\Delta t$ 与队长交接信息。

小明在队首与队长交接信息完成后立即掉头返回队尾。返回阶段以加速度 $a_{stu}^{\prime}$ 向后加速（初始速度为 $0$），直至追上队尾。设小明于$t_4$返回队首。

具体来说，小明的运动过程如下：

$0 \le t < t_0$ 时，小明从静止开始做匀加速运动，加速度为 $a_{team}>0$。
$t_0\le t < t_1$ 时，小明从原速度开始做匀加速运动，加速度为 $a_{stu}>0$。
$t_1\le t < t_2$ 时，小明从原速度开始做匀减速运动，加速度为 $a_{stu}^{\prime}<0$。
$t_2\le t < t_3,(t_3 = t_2+\Delta t)$ 时，小明以速度 $v_{\max}$ 做匀速运动。
$t_3\le t < t_4$ 时，小明从静止开始做匀加速运动（反向），加速度为$a_{stu}^{\prime} < 0$。

你需要使用 $a_{team}, t_0, a_{stu}^{\prime}, v_{\max}, a_{stu}, \Delta t$ 表示下述内容

小明在第 1 段与第 2 段运动的分界时刻 $t_1$（$t_0<t_1<t_2$）以及第 2 段结束时刻 $t_2$。
队列的长度 $L$。
小明完成一次往返（从队尾到队首再返回队尾）所需的总时间 $t_4$。

解析¶

本题固然可以通过求图像中面积的方式求解，但并不方便，不妨让我们考虑使用解析几何来解决这个问题。

具体来说，我们可以使用分段函数来表示队伍和小明的速度变化。

由题可知，队伍的函数如下：

\[v_{team} = \begin{cases} t\cdot a_{team},\quad 0\le t \le \frac{v_{\max}}{a_{team}}\\ v_{\max}, \quad \frac{v_{\max}}{a_{team}} < t \end{cases}\]

接下来我们分段考虑小明的运动情况：

$0\le t < t_0 $ 时，小明与队列一同行进，其速度也与队列相同：

\[v_{stu} = t \cdot a_{team}, \quad 0\le t < t_0\]

$ t_0 \le t < t_1 $时，小明加速向前，对于这一段函数，我们知道其斜率$a_{stu}$ 以及其$t_0$时的坐标 $(t_0,t_0\cdot a_{team})$，即可得到函数解析式，过程如下：

\[v_{stu} = t \cdot a_{stu} +b , \quad t_0 \le t < t_1\]

令 $t = t_0, \quad v = t_0 \cdot a_{team}$，解得：

\[v_{stu} = t \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team}-a_{stu}) , \quad t_0 \le t < t_1 \]

$ t_1 \le t < t_2 $时，小明减速追上队首，我们同样知道这段函数的斜率 \(a_{stu}^{\prime}$ 以及其 $t_1$ 时的坐标 $(t_1,t_1\cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team}-a_{stu}))$ ，为了求出这段函数的解析式，我们需要先求出\)t_2$。

根据题意，小明在$t_2$时刻追上队首，此时队列开始以$v_{\max}$匀速行进，因此$t_2$就是队列达到最大速度的时刻：

\[t_2 = \frac{v_{\max}}{a_{team}}\]

现在我们可以求出$t_1$。在$t_1$时刻，小明追上队首，此时小明和队首的位置相同。我们需要通过位移关系来求解$t_1$。

首先，我们计算队首在$t_0$到$t_2$期间的位移。队首的运动分为两段： 1. $0 \le t < t_0$：从静止开始以加速度$a_{team}$加速 2. $t_0 \le t < t_2$：继续以加速度$a_{team}$加速直到达到$v_{\max}$

队首在$t_0$时刻的速度为$v_{team}(t_0) = t_0 \cdot a_{team}$，在$t_2$时刻的速度为$v_{\max}$。

队首在$t_0$到$t_2$期间的位移为：

\[\begin{align*} x_{team} &= v_{team}(t_0) \cdot (t_2 - t_0) + \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0)^2\\ x_{team} &= t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_2 - t_0) + \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0)^2\\ x_{team} &= \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0)^2 + t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_2 - t_0)\\ x_{team} &= \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0) \cdot (t_2 - t_0 + 2t_0\\ x_{team} &= \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0) \cdot (t_2 + t_0) \end{align*}\]

小明在$t_0$到$t_1$期间的位移为：

\[\begin{align*} x_{stu1} &= v_{stu}(t_0) \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2\\ x_{stu1} &= t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 \end{align*}\]

小明在$t_1$到$t_2$期间的位移为： $\(x_{stu2} = v_{stu}(t_1) \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t_2 - t_1)^2$\)

其中$v_{stu}(t_1) = t_1 \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team} - a_{stu})$

现在我们来求解$t_1$。在$t_1$时刻，小明追上队首，意味着小明的总位移等于队首的位移加上队列的初始长度$L$：

\[x_{stu1} + x_{stu2} = x_{team} + L\]

其中： - $x_{stu1}$是小明在$t_0$到$t_1$期间的位移 - $x_{stu2}$是小明在$t_1$到$t_2$期间的位移 - $x_{team}$是队首在$t_0$到$t_2$期间的位移

将前面的公式代入，我们得到：

\[t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 + v_{stu}(t_1) \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t_2 - t_1)^2 = \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2 - t_0) \cdot (t_2 + t_0) + L\]

整理得到：

\[ t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 + (t_1 \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team} - a_{stu})) \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t_2 - t_1)^2 = \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2^2 - t_0^2) + L \]

将$t_2 = \frac{v_{\max}}{a_{team}}$代入，并解出$t_1$：

\[t_1 = \frac{v_{\max} - \sqrt{v_{\max}^2 - 2(a_{stu} - a_{team})(t_2-t_0)v_{\max} + (a_{stu}-a_{team})^2(t_2-t_0)^2 + 2(a_{stu}-a_{team})L}}{a_{stu}-a_{team}} + t_0\]

$t_2 \le t < t_3 $ 时，此时小明与队伍同时保持$v_{\max}$行进，则：

\[v_{stu} = v_{\max}, \quad t_2 \le t < t_3\]

$t_3 \le t < t_4 $ 时，小明加速返回队尾，此时小明的初始速度为$0$（相对于队伍），加速度为$a_{stu}^{\prime}$：

\[v_{stu} = (t - t_3) \cdot a_{stu}^{\prime}, \quad t_3 \le t < t_4\]

现在我们需要求解队列长度$L$和总时间$t_4$。

对于队列长度$L$，根据前面的位移关系方程，我们可以解出$L$：

\[L = t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 + (t_1 \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team} - a_{stu})) \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t_2 - t_1)^2 - \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_2^2 - t_0^2)\]

这个表达式可以进一步简化。将$t_2 = \frac{v_{\max}}{a_{team}}$代入，我们得到：

\[L = t_0 \cdot a_{team} \cdot (t_1 - t_0) + \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 + (t_1 \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team} - a_{stu})) \cdot (\frac{v_{\max}}{a_{team}} - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (\frac{v_{\max}}{a_{team}} - t_1)^2 - \frac{1}{2} a_{team} \cdot (\frac{v_{\max}^2}{a_{team}^2} - t_0^2)\]

整理得到： $\(L = \frac{1}{2} a_{stu} \cdot (t_1 - t_0)^2 + (t_1 \cdot a_{stu} + t_0 \cdot (a_{team} - a_{stu})) \cdot (\frac{v_{\max}}{a_{team}} - t_1) + \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (\frac{v_{\max}}{a_{team}} - t_1)^2 - \frac{v_{\max}^2}{2a_{team}}$\)

接下来我们求解小明完成一次往返所需的总时间$t_4$。

在$t_3$时刻，小明开始返回队尾。此时小明相对于队伍的速度为$0$，然后以加速度$a_{stu}^{\prime}$向后加速。

小明返回时的速度函数为：

\[v_{stu} = (t - t_3) \cdot a_{stu}^{\prime}, \quad t_3 \le t < t_4\]

小明返回时的位移函数为（以$t_3$时刻的位置为起点）：

\[x_{stu}^{(return)} = \frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t - t_3)^2, \quad t_3 \le t < t_4\]

在$t_3$到$t_4$期间，队尾继续向前运动。队尾的速度函数需要分段考虑：

在$0 \le t < t_2$期间，队尾以加速度$a_{team}$加速，速度函数为： $v_{team}^{(tail)} = t \cdot a_{team}, \quad 0 \le t < t_2$
在$t_2 \le t$期间，队尾以速度$v_{\max}$匀速运动： $v_{team}^{(tail)} = v_{\max}, \quad t_2 \le t$

因此，在$t_3 \le t < t_4$期间，队尾的位移函数为（以$t_3$时刻的位置为起点）：

\[x_{team}^{(tail)} = v_{\max} \cdot (t - t_3) + \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t - t_3)^2, \quad t_3 \le t < t_4\]

当小明返回队尾时，他的位移等于队尾的位移加上队列长度$L$：

\[x_{stu}^{(return)} = x_{team}^{(tail)} + L\]

即：

\[\frac{1}{2} a_{stu}^{\prime} \cdot (t_4 - t_3)^2 = v_{\max} \cdot (t_4 - t_3) + \frac{1}{2} a_{team} \cdot (t_4 - t_3)^2 + L\]

整理得到：

\[\frac{1}{2} (a_{stu}^{\prime} - a_{team}) \cdot (t_4 - t_3)^2 - v_{\max} \cdot (t_4 - t_3) - L = 0\]

这是一个关于$(t_4 - t_3)$的二次方程，可以求解出$t_4 - t_3$，进而得到$t_4$。

使用二次方程求根公式：

\[t_4 - t_3 = \frac{v_{\max} \pm \sqrt{v_{\max}^2 + 2(a_{stu}^{\prime} - a_{team})L}}{a_{stu}^{\prime} - a_{team}}\]

由于$a_{stu}^{\prime} < 0$且$a_{team} > 0$，所以$a_{stu}^{\prime} - a_{team} < 0$。为了使$t_4 - t_3 > 0$，我们需要选择合适的根：

\[t_4 - t_3 = \frac{v_{\max} - \sqrt{v_{\max}^2 + 2(a_{stu}^{\prime} - a_{team})L}}{a_{stu}^{\prime} - a_{team}}\]

因此，总时间$t_4$为：

\[t_4 = t_3 + \frac{v_{\max} - \sqrt{v_{\max}^2 + 2(a_{stu}^{\prime} - a_{team})L}}{a_{stu}^{\prime} - a_{team}}\]

其中$t_3 = t_2 + \Delta t = \frac{v_{\max}}{a_{team}} + \Delta t$。

至此，我们已经完成了题目要求的所有求解： 1. 分界时刻$t_1$和结束时刻$t_2$ 2. 队列长度$L$ 3. 总时间$t_4$

直线运动¶

基本概念¶

基础公式¶

匀速直线运动¶

匀变速直线运动¶

变速直线运动¶

图像分析¶

x-t图像¶

\(x = C\)¶

\(x = k\cdot t\)¶

\(x = mt^2 + nt + x_{0}\)¶

v-t 图像¶

\(v = C\)¶

\(v = k\cdot t\)¶

\(v = mt^2 + nt + v_{0}\)¶

a-t 图像¶

\(a = C\)¶

\(a = k\cdot t\)¶

\(v^2 - x\) 图像¶

\(v^{2} = C\)¶

\(v = kx+b\)¶

\(\frac{x}{t} - t\) 图像¶

\(\overline{v} = \frac{x}{t} = C\)¶

\(\overline{v} = \frac{x}{t} = kt + b\)¶

图像分析概要¶

常见模型¶

追及与相遇¶

例题-又是一年军训¶

题面¶

解析¶