弧度制¶

角的定义¶

在小学或初中已经学习过角的 静态定义 ：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

但是该定义将角度限制在了 \([0, 360^\circ]\) ，这给深入研究带来了一定的困难，还有其他的问题无法解释清，比如：旋转 \(720^\circ\) 是什么意思？

在高中数学，讲了角的 动态定义：平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角。

称角开始的射线称为始边，结束的射线称为终边。并规定：

这样就把角的概念推向了 任意角 。

Tip

零角始边和终边重合，但始边和终边重合的角并不都是零角，如以\(360^\circ\)为倍数的角。

实际应用中经常有角度到各种参数的转换，而使用弧度制描述角可以减少系数的使用。所以接下来，介绍 弧度制：

把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为\(1\)弧度的角，用符号\(\text{rad}\)表示，读作：弧度。

例如：

\[360^\circ = 2\pi \operatorname{rad} , 180^\circ = \pi \operatorname{rad} , 90^\circ = \frac{\pi}{2} \operatorname{rad}\]

根据前面的规定，正角的弧度为正，负角的弧度为负，零角的弧度为\(0\)。

我们知道：

\[C=2\pi r\]

那么对于一个半径为\(r\)的圆的圆心角\(\alpha\)所对弧长为\(l\)有：

\[ \begin{aligned} l &= \frac{ |\alpha| }{ 2 \pi }C\\ l &= \frac{ 2\pi r|\alpha| }{ 2 \pi }\\ |\alpha|&=\dfrac{l}{r} \end{aligned} \]

其等价于初中阶段的 \(l = \frac{n \pi r}{180^\circ}\) 此处\(n\)为圆心角度数。

利用这个公式还可以写出弧长和扇形面积公式，在此略过。

于是，\(360^\circ\)角的弧度为\(2\pi\)，这样有了对应关系之后就可以进行角度值和弧度制的转化了：

\[ k \operatorname{rad} = \frac{\pi}{180^\circ} n^\circ \]

考虑一个角，将其终边再旋转一周，甚至多周，始边位置不动，那么终边位置永远是相同的，称这些角为终边位置相同的角。

与角 \(\alpha\) 终边位置相同的角的集合很容易得出，为 \(\{\varphi \mid \varphi = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\) 。

可以理解为：给这个角的边不停加转一圈，终边位置不变。