圆¶
1. 圆的定义和基本元素¶
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定义（集合性定义）：在平面内，圆是到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的集合。
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符号：通常用\(\odot\)表示圆。
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基本元素：
- 圆心：圆内一点，到圆上任意点的距离均相等。
- 弦：圆上任意两点间的连线（线段）。
- 圆心角：顶点在圆心的角。
- 圆周角：顶点在圆周上的角。
- 直径：通过圆心的弦，是圆中最长的弦。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的线段。
- 弧：圆上任意两点之间的部分，记作\(\mathop{AB}\limits^{\frown}\)。弧根据其对应的圆心角的大小又可以分为优弧（\(>180^\circ\)），半圆（\(=180^\circ\)），劣弧（\(<180^\circ\)）。
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对称性：
- 轴对称：对称轴为直径，有无数条对称轴。
- 中心对称：对称中心为圆心。
- 旋转对称：绕圆心旋转任意角度后，图形与原图形重合。
2. 垂径定理¶
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原理：圆是轴对称图形。
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内容：
- 垂直于弦的直径，必然平分该弦。
- 平分弦的直径，必然垂直于该弦。
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推论：
- 垂径平分弦对应的优弧和劣弧。
- 知二求四（已知以下任意两个条件，可推导出其他四个）：
- \(AB\) 为直径
- \(AB \perp CD\)
- \(AB\) 平分 \(CD\)
- \(AB\) 平分 \(CD\) 对应的劣弧
- \(AB\) 平分 \(CD\) 对应的优弧
- \(OB\) 为 \(\angle COD\) 的角平分线
- \(AB\) 为 \(\angle CAD\) 的角平分线
3. 圆心角定理¶
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内容：
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在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。
- 例：如图，\(\alpha\) 与 \(\beta\) 互为对顶角（\(AD\) 与 \(BC\) 交于 \(O\)），则 \(\alpha = \beta\)，因此 \(AB = CD\)。
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在同圆或等圆中，圆心角所对的弧长与圆心角成正比：
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弧度制：弧长 = 圆心角 × 半径（即 $ l = \alpha \cdot r $）。
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角度制：弧长 = $ \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{周长} $（即 $ l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r $）。
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4. 圆周角定理¶
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定义：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。
- 例：$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $。
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互补弧对应圆周角互补：如果两个圆周角对应互补弧，则这两个角互补。
- 例：$ \angle ACB + \angle ADB = 180^\circ $。
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推论：
直径所对的圆周角是直角（\(90^\circ\)）。
- 例：$ \angle ACB = 90^\circ = \angle ADB $（如图，三角形内接于圆，且 AB 为直径）。
等弧所对的圆周角相等；在等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
- 例：如果 $ \angle C = \angle D \(，则\)\mathop{CB}\limits^{\frown} = \mathop{DB}\limits^{\frown}$。
等弧所对的弦相等；在等圆中，相等的弧所对的弦相等。
- 例：如果 $ \mathop{AB}\limits^{\frown} = \mathop{CD}\limits^{\frown} $，则 AB = CD。
5. 圆内接四边形¶
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定义：四个顶点都在圆上的四边形。
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性质：
对角互补：圆内接四边形的对角之和为 180°。
- 例： $ \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ , \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ $。
外角性质：一个角的外角等于其内对角。
- 例：如图，点 \(E\) 在四边形 \(ABCD\) 外，则 $ \angle PAE = \angle C $。
6.直线与圆的位置关系¶
Info
本节中，记 \(d\) 为 \(\odot O\) 圆心 \(O\) 到直线 \(l\) 的距离，\(r\) 为 \(\odot O\) 的半径。
在平面几何中直线与圆的位置关系有三种，相离，相切，相交。
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定义：
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相离：直线与圆没有交点，此时\(d>r\)。
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相切：直线与圆有且仅有一个交点，相交的点称为切点，过切点的半径垂直于切线，此时\(d=r\)。
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相交：直线与圆有两个交点，穿过圆的直线称为割线，此时\(d<r\)。
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判定：
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相离：\(d>r\)。
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相切：直线与圆交于一点且过此点的半径垂直于直线，或\(d=r\)。
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相交：\(d<r\)。
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