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向量/矢量

翻译问题

由于一些历史遗留问题，在数学和物理中对于「vector」这一词有不同的翻译。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，同时与「标量」一词相对。而在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在接下来的叙述中，我们统一使用向量，保证较好的阅读观感。

向量的定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。一般情况下我们研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 \(\overrightarrow a\) 或 \(\vec{a}\) 。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： \(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\vec{a}|\) 。

零向量：模为 \(0\) 的向量。零向量的方向任意。记为： \(\overrightarrow 0\) 或 \(\vec{0}\) 。

单位向量：模为 \(1\) 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 \(\overrightarrow e\) 或 \(\vec{e}\) 。

平行向量：方向相同或相反的两个 非零 向量。记作： \(\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b\) 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 \(\overrightarrow a,\overrightarrow b\) ，作 \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a,\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b\) ，那么 \(\theta=\angle AOB\) 就是向量 \(\overrightarrow a\) 与向量 \(\overrightarrow b\) 的夹角。记作： \(\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\rangle\) 。显然当 \(\theta=0\) 时两向量同向， \(\theta=\pi\) 时两向量反向， \(\theta=\frac{\pi}{2}\) 时两向量垂直，记作 \(\overrightarrow a\perp \overrightarrow b\) ，并且规定 \(\theta \in [0,\pi]\) 。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，一个人从 \(A\) 经 \(B\) 走到 \(C\)，那么他经过的位移为\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)，这其实等价于这个人直接从 \(A\) 走到 \(C\)，即

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

上述的公式不要求两向量在同一直线上，即在\(A\)点和\(C\)点固定时，\(B\)点位置的改变并不会影响到最终的和。

通过上述的例子，相信读者不难想到物理中力的合成法则 平行四边形法则 ，其本质即为向量的相加（力即为向量）。由此，我们便可以得到向量的加法法则：

  1. 向量加法的三角形法则 ：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；

  2. 向量加法的平行四边形法则 ：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角 线方向。

无论是 三角形法则 还是 平行四边形法则 若要求和的两个向量位置不满足上述设定，我们可以通过平移的方式改变位置，平移 自由向量 并不会影响到运算结果。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：

\[\overrightarrow a-\overrightarrow b=\overrightarrow a+(-\overrightarrow b)\]

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

常见误区

\(-\overrightarrow a\)与\(\overrightarrow a\)的区别在于 方向相反 。但需要注意 方向相反 指的是向量的起点与终点相反，而非只改变终点。具体来说，在下方三张图片中，第一张为原向量，第二张为正确演示。第三张为错误演示。

原向量 正确演示 错误演示

有时候有两点 A,B，想知道 \(\overrightarrow{AB}\)，可以利用减法运算获得：

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \]

向量的数乘

规定「实数 \(\lambda\) 与向量 \(\overrightarrow a\) 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 \(\lambda \overrightarrow a\)，它的长度与方向规定如下：

\[|\lambda \overrightarrow a|=|\lambda||\overrightarrow a|\]

当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow a\) 同向，当 \(\lambda = 0\) 时，\(\lambda \overrightarrow a=\overrightarrow 0\)，当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow a\) 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

\[\begin{aligned} \lambda(\mu \overrightarrow a)&=(\lambda \mu)\overrightarrow a\\ (\lambda+\mu)\overrightarrow a&=\lambda \overrightarrow a+\mu \overrightarrow a\\ \lambda(\overrightarrow a+\overrightarrow b)&=\lambda \overrightarrow a+\lambda \overrightarrow b \end{aligned}\]

特别地：

\[\begin{gathered} (-\lambda)\overrightarrow a=-(\lambda \overrightarrow a)=-\lambda(\overrightarrow a)\\ \lambda(\overrightarrow a-\overrightarrow b)=\lambda \overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b \end{gathered}\]

判定两向量共线

两个 非零 向量 \(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\) 共线 \(\iff\) 有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\overrightarrow b=\lambda \overrightarrow a\)。

证明：由数乘的定义可知，对于 非零 向量 \(\overrightarrow a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\overrightarrow b=\lambda \overrightarrow a\)，那么 \(\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b\)。

反过来，如果 \(\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b，\overrightarrow a \not = \overrightarrow 0\)，且 \(|\overrightarrow b|=\mu |\overrightarrow a|\)，那么当 \(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\) 同向时，\(\overrightarrow b=\mu \overrightarrow a\)，反向时 \(\overrightarrow b=-\mu \overrightarrow a\)。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

翻译问题

由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译。

在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法。

在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。

在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

内积/点乘/标积/数量积

内积的概念 对于任意维数的向量都适用。

内积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些。

几何定义 ：在 \(n\) 维欧氏空间 \(\mathbf{R}^n\) 下，已知两个向量 \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) ，它们的夹角为 \(\theta\) ，那么：

\[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos \theta\]

就是这两个向量的 内积 ，也叫 点积 或 数量积 。其中称 \(|\overrightarrow b|\cos \theta\) 为 \(\overrightarrow b\) 在 \(\overrightarrow a\) 方向上的投影。内积的几何意义即为：内积 \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\) 等于 \(\overrightarrow a\) 的模与 \(\overrightarrow b\) 在 \(\overrightarrow a\) 方向上的投影的乘积。

代数定义 ：在 \(n\) 维欧氏空间 \(\mathbf{R}^n\) 下，已知两个向量 \(\overrightarrow a = (a_1, a_2, \dots, a_n), \overrightarrow b = (b_1, b_2, \dots, b_n)\) ，那么：

\[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i\]

就是这两个向量的 内积 ，也叫 点积 或 数量积。

Danger

内积的几何定义与代数定义在欧氏空间下是等价的，而后者在数学中较为常用，其在计算高多维度向量时更简单。但在物理竞赛中，低维度向量更常见，所以通常使用几何定义进行理解与计算。

在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 \(2\) ，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号。该上角标 \(2\) 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 \(2\) 以外任何个数的向量的内积。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 \(4\) ，而是必须将上角标 \(2\) 的结果视为一个整体，举个例子：

\[\begin{align*} (\overrightarrow a)^2&=\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a \\ (\overrightarrow a)^4 &\ne \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a &(\text{错误写法})\\ ((\overrightarrow a)^2)^2 &= \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a &(\text{正确写法})\\ \end{align*}\]

可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，内积满足：

\[\begin{aligned} (\overrightarrow a + \overrightarrow b) \cdot \overrightarrow c &= \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c \\ \overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b + \overrightarrow c) &= \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c \\ (\lambda \overrightarrow a) \cdot \overrightarrow b &= \lambda (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b) \\ \overrightarrow a \cdot (\lambda \overrightarrow b) &= \lambda (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b) \end{aligned}\]

内积还满足交换律，即：

\[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a\]

下面介绍内积运算的一些常见应用。

1.判定两向量垂直：

\[ \overrightarrow a \perp \overrightarrow b \iff \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \]

即互相垂直的两个向量的内积，结果为 \(0\) ；向量与零向量内积，结果为 \(0\) 。如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直。

2.判定两向量共线：

\[ \exists\lambda \in \mathbf{R} (\overrightarrow a = \lambda \overrightarrow b) \iff |\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b| = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \]

3.计算向量的模：

\[ |\overrightarrow a| = \sqrt{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a} \]

4.计算两向量的夹角：

\[ \theta = \arccos \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|} \]

外积/叉乘/矢积/向量积

外积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些。

几何定义：在三维欧氏空间 \(\mathbf{R}^3\) 下，定义向量 \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) 的外积为一个向量，记为 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\) ，其模与方向定义如下：

  1. \(|\overrightarrow a \times \overrightarrow b| = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \sin \langle \overrightarrow a, \overrightarrow b \rangle\)；

  2. \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\) 与 \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) 都垂直，且 \(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow a \times \overrightarrow b\) 的方向符合右手法则。

注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 \(S=\frac{1}{2}ab\sin C\) ，可以发现外积的几何意义是： \(|\overrightarrow a \times \overrightarrow b|\) 是以 \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) 为邻边的平行四边形的面积。

代数定义：在三维欧氏空间 \(\mathbf{R}^3\) 下，定义向量 \(\overrightarrow a = (x_1, y_1, z_1), \overrightarrow b = (x_2, y_2, z_2)\) 的外积为一个向量 \(\overrightarrow c\) ，记作 \(\overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b\) ，其结果可以使用三阶行列式表示：

\[\begin{vmatrix} \overrightarrow i & \overrightarrow j & \overrightarrow k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}\]

其中 \(\overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k\) 表示朝向为坐标轴 \(x, y, z\) 的单位向量，并写在对应坐标处。展开得

\[\begin{aligned} \overrightarrow c &= \overrightarrow a \times \overrightarrow b \\ &= (y_1z_2 - y_2z_1)\overrightarrow i + (z_1x_2 - z_2x_1)\overrightarrow j + (x_1y_2 - x_2y_1)\overrightarrow k \\ &= (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1) \end{aligned}\]

下面介绍内积运算的一些常见性质。

外积是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，外积满足：

\[\begin{aligned} (\overrightarrow a + \overrightarrow b) \times \overrightarrow c &= \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \\ \overrightarrow a \times (\overrightarrow b + \overrightarrow c) &= \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c \\ (\lambda \overrightarrow a) \times \overrightarrow b &= \lambda (\overrightarrow a \times \overrightarrow b) \\ \overrightarrow a \times (\lambda \overrightarrow b) &= \lambda (\overrightarrow a \times \overrightarrow b) \end{aligned}\]

前两行性质亦可称为分配律，即外积对于向量加法满足乘法分配律。

外积满足反交换律，即：

\[ \overrightarrow a \times \overrightarrow b=-\overrightarrow b \times \overrightarrow a \]

根据上文内积与外积的几何定义：

\[\begin{aligned} |\overrightarrow a \times \overrightarrow b| &= |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \sin \langle \overrightarrow a, \overrightarrow b \rangle \\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos \theta \\ &= |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos \langle \overrightarrow a, \overrightarrow b\rangle \end{aligned}\]

可以写出恒等式：

\[ (\overrightarrow a\times \overrightarrow b) \cdot (\overrightarrow a\times \overrightarrow b) = |\overrightarrow a|^2 |\overrightarrow b|^2-{(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)}^2 \]

外积满足 Jacobi 恒等式：

\[ \overrightarrow a \times (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) + \overrightarrow b \times (\overrightarrow c \times \overrightarrow a) + \overrightarrow c \times (\overrightarrow a \times \overrightarrow b) = \overrightarrow 0 \]

下面介绍外积运算的一些常见应用。

1.判定两向量是否共线：

\[ \exists\lambda \in \mathbf{R} (\overrightarrow a = \lambda \overrightarrow b) \iff \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \]

即共线的两个三维向量的外积，结果为 \(\overrightarrow 0\) ；三维向量与自身外积，结果为 \(\overrightarrow 0\) ；三维向量与零向量外积，结果为 \(\overrightarrow 0\) 。若使用外积为零作为两向量共线的定义，则可以得出零向量与任何向量都共线。

2.计算两向量张成的平行四边形面积：

\[ S \langle \overrightarrow a, \overrightarrow b \rangle = |\overrightarrow a \times \overrightarrow b| \]

二维向量的情形：对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：

记 \(\overrightarrow a = (m, n), \overrightarrow b = (p, q)\) ，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 \(xOy\) 平面，原本的坐标 \((m, n)\) 和 \((p, q)\) 变为 \((m, n, 0)\) 和 \((p, q, 0)\) 。

那么两个向量的外积为 \((0, 0, mq - np)\) ，因此平行四边形的面积为 \(|mq - np|\) ，可以视为二阶行列式运算结果的绝对值。

此时，根据右手法则和 \(z\) 坐标的符号，可以推断出 \(\overrightarrow b\) 相对于 \(\overrightarrow a\) 的方向，若在逆时针方向则 \(z\) 坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正。